In een vierkant wordt een cirkel getekend die elke zijde van het vierkant precies raakt.
Vervolgens wordt om het vierkant een cirkel getekend die elk hoekpunt van het vierkant raakt.
Hoe verhoudt de oppervlakte van de kleine cirkel zich tot de oppervlakte van de grote cirkel?
(Een som van Henk van Huffelen.)
Stel de zijden van het vierkant op 1 cm.
Dan is de middellijn van de kleine cirkel ook 1 cm en de straal 0,5 cm.
De oppervlakte is 3,14 x 0,5 x 0,5 cm². (A)
De middellijn van de grote cirkel is de diagonaal ven het vierkant =
2.
De oppervlakte van de grote cirkel is 3,14 x 0,5 wortel 2 x 0,5 x
2 . (B)
A : B = 3,14 x 0,5 x 0,5 : 3,14 x 0,5 x
2 x 0,5 x
2
(3,14 : 3,14 wegstrepen)
A : B = 0,5 x 0,5 : 0,25 x
2 x
2
(0,5 x 0,5 = 0,25 en
2 x
2 = 2)
A : B = 0,25 : 0,25 x 2
A : B = 0,25 : 0,5
A : B = 1 : 2
Of:
Als de zijde van het vierkant D is, is dat ook de diameter van de kleine cirkel is D.
De diameter van de grote cirkel is gelijk aan de diagonaal van het vierkant. Hier komt Pythagoras even om de hoek kijken:
Voor de schuine zijde c van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden a en b geldt:
a² + b² = c²
De lengte van a en b is D, dus
D² + D² = c²
c² = 2D²
c = D
De diameter van de grote cirkel = D
en de diameter van de kleine cirkel is D.
Nu kunnen we de oppervlaktes bekijken:
De oppervlakte van een cirkel is
pi x (
diameter)² = pi x
diameter²
De oppervlakte van de kleine cirkel is pi x
D².
De oppervlakte van de grote cirkel is:
pi x
(D x
)² = pi x
x D² x 2
De verhouding tussen beide oppervlakten is:
(pi x
D²) : (pi x
D² x 2) =
(
D²) : (
D² x 2) =
(D²) : (D² x 2) =
1 : 2
Zie ook de pagina
Oppervlakte.